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離婚でさえ大変な心労ですのに会社関係もあり心中お察し申し上げます。

さて、本件については、?登記簿の変更義務があるのか　?代表取締役が不在となり、会社が活動を休止した後の処理　に関して回答させて頂きます。

?代表取締役の住所等の登記変更義務について
　
→代表取締役の住所は、必要的登記事項（会社法911条2項14号）ですので、変更があった場合には、原則として２週間以内に変更の登記をしなければなりません（会社法915条1項）。そして、この変更登記を怠った場合には、罰則として100万円以下の過料に処せられます（会社法976条1号）。
→会社法上は以上の義務・罰則があります。

?代表取締役が不在となり、会社が活動を休止した後の処理

→本件質問メールでは詳細な事情は不明ですので、a会社は自宅商売で他に連絡のつく株主や取締役が存在しない・b御質問者様は会社の株主や取締役にはなっていない　という前提で回答いたします。
→本来は会社が活動を休止したならば解散・清算手続きを行います（会社法471条・475条）が、本件では解散・清算を行う株主・取締役が不在の様子なので、公権力の介入による解散が必要になるかと思います。
具体的には、裁判所に解散命令（商法824条1項2号）の申し立てをすることです。今後、１年以上そのまま連絡がつかず・会社の活動がない場合には・御質問者様は利害関係人（商法824条1項本文）として解散命令の申し立てが出来ます。解散命令が出れば清算手続きに移行し会社が消滅しますから登記も消滅します。