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1及び２の質問への回答は、他事務所から既に出されている通りで、間違いがないと思いますが、２の質問への回答の補足をさせていただきます。
日本の法務局で、登記手続きを済ませた後は、その事務所で働く外国人の方の適切な在留資格（ビザ）取得が必要になってきます。

届出機関は法務局でいいのですが、
外国会社の「日本における代表者」と「営業所」設置の手続は、結構面倒です。
まず、本国法に基づいて、会社の法人格がちゃんとあることを認定しないといけませんので、
証明書(日本で言うと登記事項証明書のようなもの)を自国の領事館(東京とか大阪であることが多いですが)で認証してもらわなければなりません(翻訳が必要)。
国によって法人制度が若干異なるので、個別に法務局と相談しながらの手続になります。
そこまでいけば、代表者の選任証明書等を付ければいいのですが、問題は、
日本における代表者が外国人である場合に在留資格です。
通常、投資経営や企業内転勤が考えられますが、海外との行き来が多く、日本での在留期間が年間通算半年に満たないような場合は、
更新の際にどう判断されるのかという問題があります。

まず日本における外国企業の事務所設置についてですが、届け出機関は法務局です。他の方が回答されているように外国公館(領事館)等の証明書が必要となります。次に、日本企業の外国事務所の設置ですが、どの国での設置をお考えでしょうか？設置できない国もありますが、アメリカを例にお話しさせていただきます。アメリカでは事業を行う州で設立するのが原則となっています。州に登記をしますので、州の事業許可をとることになります。ただ、税務報告の有無等を考えられて、適切な州を選ばれるとよいと思います。
今回は、届け出機関の質問でしたので、詳細は回答しませんが、資本金やオフィサーの設置も視野に入れてご検討されればよいでしょう。なお、ハワイ州やディウェア州が比較的日本人に人気の高い州です。

1. 日本の企業が海外に事務所を設ける場合について

　簡単に言えば、事務所を設立する国の法令などに準じて手続を行うことになり、その国の担当の行政機関などが届け出機関になります。
それぞれの国の事情があり、事務所の設置が厳しいところもあります。

　詳しい内容につきましては、私の勉強不足のためお答えできる立場でありません。
誠に申し訳ございません。
　他の先生がいろいろお答えになられているようですのでそちらが参考になるかと思います。

　補足ですが、現地の支店長等の代表者や駐在員については、事務所設立予定の国の「外国人」としての在留資格・在留要件を満たすことが要求されますし、国によっては労働の許可が必要な場合もあります。その点も確認いただいたほうがよろしいかと思いますので、念のため申し添えます。


２．外国の企業が日本に事務所を設ける場合について

　この場合の事務所は日本の会社法上「外国会社」と位置づけられると考えられます。
　この場合、日本に事務所を構えるためには日本の会社設立とほぼ同様に、事務所の本拠地（設立する地）を管轄する法務局若しくは地方法務局に「登記」をすることで設立できると考えられます。
　ですから、この場合は“法務局若しくは地方法務局”という答えが妥当であると考えます。

少しでも参考になっていただければ幸いです。

１　日本で開業
　　法人設立登記?公証人役場
　　開業する業種に見合った資格者の採用や行政庁等への届け出など
２　外国での開業
　　外国資本の受け入れが可能な国
　　進出しようとする国の法律に従う?大使館等に確認

各先生方がコメントをされていますので私は補足を致します。
まず、２について。日本で商売をするのは難しくありません。
要は、日本企業と同じように法令順守すれば良いだけです。大したことはありません。
次に、１について。私の事務所は対中国が殆んどなのでそれを前提にしますが、中国では、どれだけ地元企業との取引があるかで結果が異なるという印象です。全くの新規の場合は非常に難しいです。どんなツテでもいいので在中資本との提携がお勧めです。驚くほど違います。